Fractali

Se pare că nimeni nu este indiferent față de fractali. De fapt, mulți privesc prima lor întâlnire cu geometria fractală ca pe o experiență cu totul nouă, atât din punct de vedere estetic, cât și științific... Norii nu sunt sfere, munții nu sunt conuri, liniile de coastă nu sunt cercuri, iar scoarța copacilor nu este netedă. Benoît Mandelbrot, părintele geometriei fractale.

În ziua de azi, fractalii generați de computer se întâlnesc peste tot. De la arta fractală la articole în cele mai serioase reviste de fizică, interesul pentru aceste structuri neobișnuite este în creștere. Unele dintre aceste forme există numai în spații geometrice abstracte, altele există în natură (broccoli, copaci, corali) iar altele sunt folosite pentru a modela fenomene complexe, cum sunt alcătuirea norilor sau modul de funcționare al rețelei de vase capilare.

În anul 1961, unitatea centrală ultra-modernă a Institutului de cercetări al IBM Thomas J. Watson din Yorktown Heights, NY trimitea instrucțiuni unui dispozitiv de imprimare Tektronix. Acesta marca conștiincios puncte în locuri neașteptate, iar atunci când și-a oprit țăcănitul, rezultatul semăna cu o mână de praf  împrăștiată pe foaia de hârtie. Lui Benoît Mandelbrot nu-i venea să creadă. Realiza importanța evenimentului, dar ce era mai exact? Imaginea semăna cu o fotografie alb negru, abia ieșită din baia de developare. Era prima privire aruncată asupra a ceea ce avea să devina un simbol în lumea fractalilor – mulțimea Mandelbrot.

Era începutul matematicii experimentale, o apropiere de domeniul în care și matematicienii au mese de laborator, așa cum au fizicienii și chimiștii. Se deschideau perspective noi. Era o eliberare din zona aridă a succesiunii definiție → teoremă → demonstrație. Partea care-i lipsea acestei abordări experimentale era fundamentul teoretic din spatele imaginilor prelucrate. Experimentaliștii navigau fără hartă. Mandelbrot a inventat cuvântul „fractal” – o figură geometrică ce poate fi divizată în părți, astfel încât fiecare dintre acestea să fie o copie miniaturală a întregului (în latină, fractus înseamnă „spart”, „fracturat”).

Dar ce este un fractal, de fapt? Există o definiție precisă, cum are în mod normal orice concept matematic? La început, Mandelbrot n-a vrut o astfel de definiție. N-a vrut să distrugă magia acestei experiențe, formulând o definiție care ar fi putut fi inadecvată sau limitativă. Noțiunea de fractal, gândea el, e ca un vin bun, are nevoie de timp înainte să fie îmbuteliat.

Mandelbrot și colegii săi nu erau cu nimic diferiți de matematicienii obișnuiți. Lucrau cu formule simple. Ideea lor se baza pe iterație – aplicarea repetată a unei formule. Formula care a generat mulțimea Mandelbrot este x²+c. Pentru anumite valori ale lui c, șirul de x-uri poate genera tot felul de lucruri ciudate. În mulțimea Mandelbrot există o proprietate specifică fractalilor, aceea a similarității cu ei înșiși. Dacă privim orice parte a mulțimii Mandelbrot, vom observa copii miniaturale ale acesteia:

Așa cum se întâmplă în știință, descoperirile sunt rareori cu totul noi. Mergând înapoi pe firul istoriei, Madelbrot a găsit informații despre matematicieni precum Henri Poincaré sau Arthur Cayley, care și-au pus problema fractalilor cu sute de ani înaintea lui. Formele descoperite de primul val de teoreticieni ai fractalilor includeau curbe „încrețite” și „curbe monstru”. Acestea nu fuseseră luate în seamă până atunci, fiind considerate exemple de curbe patologice. Din acest motiv, au fost încuiate în dulapul matematicii fără a fi analizate. Erau apreciate curbele „netede”, care puteau fi studiate cu ajutorul calculului diferențial. Popularitatea fractalilor a revigorat carierele matematicienilor Gaston Julia și Pierre Fatou după Primul Război Mondial. Ei lucrau pe structuri în plan complex, similare fractalilor. Evident, curbele lor nu se numeau fractali și ei nu aveau echipamentul tehnic adecvat pentru a genera astfel de forme. Acum, curbele de acest tip pot fi generate de calculator.

Arta fractală (fractal art) este o formă de artă algoritmică ce folosește fractalii și reprezentările computerizate pentru a genera imagini, animații sau muzică. Artistul britanic William Latham a folosit geometria fractală în operele sale. Greg Sams a folosit fractalii pentru a crea cărți poștale sau tricouri. Reginald Arkins creează artă fractală pentru relaxare. Carlos Ginzburg a definit conceptul de homo fractalus, centrat pe idea că omul este cel mai reprezentativ exemplu de fractal. Arhitectul spaniol Xavier Vilalta folosește geometria fractală pentru a aduce inovații în modul în care se construiesc clădirile ecologice.

Faimoasa curbă Koch este numită după matematicianul suedez Niels Fabian Helge von Koch. Curba fulgul de zăpadă este practic primul fractal. Pentru a crea un fulg Koch, se începe cu un triunghi echilateral și se înlocuiește treimea din mijloc de pe fiecare latură cu două segmente, astfel încât să se formeze un nou triunghi echilateral exterior. După câteva sute de iterații, lungimea curbei devine mai mare decât diametrul Universului vizibil!

Proprietatea curioasă a curbei Koch este aria finită, această formă aflându-se în fiecare iterație în interiorul unui cerc. La fiecare iterație, lungimea curbei crește, este deci o curbă ce mărginește o arie finită dar are circumferința infinită!

Un al fractal faimos este numit după matematicianul polonez Waclaw Sierpiski. Se extrag triunghiuri dintr-un triunghi echilateral și continuând acest proces, obținem covorul lui Sierpiski. Același procedeu se poate face și cu pătrate. Acest fractal nu are arie dar are un perimetru infinit.

Buretele Menger este un obiect fractal cu un număr infinit de cavități, descris pentru prima dată de matematicianul austriac Karl Menger în 1926. Pentru a construi buretele plecăm de la un cub divizat în 27 de cuburi. Eliminăm cubul central și cele 6 cuburi care au o față comună cu cubul central. Rămânem cu 20 de cuburi. După 6 iterații, avem 64.000.000 de cuburi! Fiecare față a buretelui Menger este un covor Sierpiski. Cubul are suprafața infinită, dar cuprinde un volum egal cu zero!